quarta-feira, 21 de março de 2012

Tirando sarro de Paradoxos, Parte 3: Resolução

Pois bem, nas duas últimas semanas, discuti com vocês um pouco sobre geometria: como ela funciona no espaço euclidiano (em Parte I: Geometria Euclidiana) e como ela se modifica levemente quando trabalhamos no espaço-tempo da relatividade restrita (em Parte II: Medindo na Relatividade).
Hoje vou falar sobre o paradoxo que essas duas visões, com ênfase para a última, ajuda a resolver facilmente.
Uma informação nova que gostaria de passar antes de irmos ao paradoxo propriamente dito, é o conceito de contração de Lorentz. Como aprendemos na Parte II dessa odisseia, é possível "girar" nosso referencial no espaço-tempo usando as Transformações de Lorentz. Isso tem um efeito interessante.
Se você está parado em relação a dois postes, a distância que você mede entre eles é maior do que aquela que você mediria se estivesse em movimento em relação a eles. Esse fenômeno é a famosa contração de Lorentz. Tudo aquilo que você mede enquanto está em movimento vai parecer menor do que quando você está parado. À medida que sua velocidade relativa aumenta, esse efeito é ainda mais expressivo.
Um paradoxo gerado por isso é quando você tenta estacionar um carro relativístico (leia-se andando próximo à velocidade da luz, que é descomunalmente alta) em uma garagem: do ponto de vista do carro, a garagem sofreu uma "contração de Lorentz". A garagem ficou menor para o carro e ele, nesse caso, não vai entrar. Só que do ponto de vista da garagem, o carro é que encolheu, e ele vai entrar mais fácil ainda.
A solução desse paradoxo é que se a parte da frente do carro para ao mesmo tempo que a parte de trás para um dos referenciais, isso não será verdade para o outro. Se as duas extremidades não param ao mesmo tempo, então é o comprimento real do carro que muda (isso pode também ser observado não relativisticamente, quando carros são parados por árvores ou por outros carros.). Com nossa análise sobre espaço euclidiano e espaço-tempo, isso se torna mais claro. O análogo na geometria euclidiana é dizer que um quadro inclinado de certo ângulo parece menor do que um quadro em pé. Dessa maneira, se você tentar passar um quadro inclinado por uma janela, do ponto de vista da janela, o quadro vai passar facilmente. Mas do ponto de vista do quadro a janela parece menor, e ele não vai passar. Aí está mais um paradoxo desses, e nem precisei usar relatividade!
A solução nesse caso é a mesma no caso do carro, o que nesse caso seria olharmos se o quadro passa pela janela estando alinhado com a mesma.
Não podia ser mais simples, podia?

quarta-feira, 14 de março de 2012

Tirando sarro de Paradoxos, Parte 2: Medindo na Relatividade

Desculpem a demora em publicar a segunda parte da nossa odisséia, mas é que sofri um pequeno "acidente de cozinha", mas nada grave. Na postagem anterior, falei um pouco sobre como fazemos para medir distâncias, utilizando a geometria euclidiana (Ver. Parte 1: Geometria Euclidiana). Quando Einstein teve a idéia genial que revolucionou a nosso maneira de pensar a passagem do tempo, e como percebemos o espaço, também nos fez o favor de modificar a maneira como fazemos as medidas.
Na geometria euclidiana, bastavam três coordenadas para localizar um ponto. Se você me dissesse "eu tenho uma máquina de lavar de 1,5m de altura, 0,9 metros de largura e 1,0 metros de profundidade", além de ficar perplexo sobre como você é obscecado por máquinas de lavar, também saberia caracterizar por completo as dimensões do objeto, pois o espaço euclidiano é, de fato, tridimensional.
Para a relatividade, no entanto, as coisas ficam um pouco diferentes. Espaço e tempo se unem formando o "espaço-tempo" (criativo), que é, antes de tudo, quadridimensional: possui as três dimensões normais do espaço, e uma extra para o tempo. Assim, você pode localizar um objeto determinando seu lugar e seu tempo, seu instante.
Se você pensar em uma versão simplificada do espaço-tempo, bidimensional, com uma dimensão no espaço e a extra do tempo, você consegue plotar o movimento de um objeto em um gráfico.
Este gráfico é, a grosso modo, um "espaço-tempo bidimensional". Se você pensar bem, vai perceber que, no espaço-tempo, o objeto adquire naturalmente uma dimensão a mais. Se ele era um ponto no espaço euclidiano, no espaço-tempo ele é uma curva, onde cada ponto dela representa a posição desse objeto em um tempo diferente.

De acordo com a relatividade especial, o "comprimento" dessa curva é medido assim:
-s2 = -t2 + x2 + y2 + z2 



Essa "distância" é o que chamamos, com a boca cheia, de tempo próprio. Basicamente, é o tempo medido por um relógio se movendo ao longo da curva, junto ao objeto.
Agora a parte legal: assim como, no espaço euclidiano, a forma como você escolhe seus eixos x, y e z não afeta a medição do comprimento, o tempo próprio não depende de como você encolhe os seus 4 eixos no espaço-tempo. Você pode rotacionar os eixos espaciais à vontade, como também brincar com o eixo do tempo. Isso é o que chamamos simpaticamente de Tranformação de Lorentz. Mas, sob essas transformações você não consegue "girar" o bastante para mudar os sinais da expressão acima. Pela figura, fica claro de que o tempo medido pelo relógio depende de qual caminho ele seguiu entre o primeiro ponto e o último, já que o comprimento da curva, então, varia.
Falar de "simultaneidade" torna-se confuso quando se está aprendendo relatividade, principalmente pelo fato de que ela deixa de existir. Mas isso deve ficar claro pela figura: Se você gira uma foto colocada em sua mesa, pontos que estavam alinhados com a beirada deixam de estar. Da mesma forma, se você gira o espaço-tempo da forma que discutimos acima (através de uma Transformação de Lorentz), pontos que estavam no mesmo tempo deixam de estar.
Fica aqui a lição de hoje. Semana que vem vamos discutir os paradoxos que foram propostos e são facilmente resolvidos usando algumas dessas idéias.
Até a próxima.

terça-feira, 6 de março de 2012

Tirando sarro de Paradoxos, Parte 1: Geometria Euclidiana

Geometria. A palavra me lembra, ocasionalmente, das minhas aulas de Matemática no Ensino Fundamental onde se precisava usar compasso, transferidor e jogo de esquadros. No entanto, à medida que eu fui crescendo, o significado de Geometria mudou completamente e passou a significar, em uma descrição não tão madura, "um plano de fundo no qual medimos as coisas".
Para o que nos interessa nessa postagem, há duas geometrias que gostaria de explorar:
Primeiro, vou falar da Geometria Euclidiana que é aquela que a gente usa no dia-a-dia, sem saber que tem um nome tão chique. Para se medir a distância entre você e o topo de um poste, por exemplo, você pode medir a distância entre você e a base do poste "x", a altura do poste "y", e a distância que você quer é encontrada utilizando se o Teorema de Pitágoras para o triângulo retângulo:
Em geral, se você quer medir uma distância em um espaço de três dimensões, o que você faz é isso, e funciona muito bem, mesmo com a adição de uma terceira dimensão "z", como no caso de você querer medir a distância entre duas quinas opostas de um quarto sabendo apenas a largura de duas paredes e a sua altura. Em geral, quando você quer medir a distância entre dois pontos quaisquer, você coloca esses dois pontos em quinas opostas de uma caixa imaginária, e calcula a distância entre eles usando a geometria euclidiana:
O interessante é que existem muitas maneiras de se orientar a "caixa" e medir a distância "r", diferentes da proposta acima, no entanto, a distância medida será a mesma. O resultado final, você há de concordar, não depende dos valores de x y ou z, tampouco da orientação da sua caixa. Em suma: a distância entre dois pontos não depende do método que você utilizou para medi-lo.
Essa é a lição de hoje, e espero que não se esqueçam até a parte 2: A Geometria da Relatividade Especial.
Até a próxima semana!

Mapa do Labirinto